Всесоюзную известность Евгению Моргунову принесла роль Бывалого в комедиях Леонида Гайдая. Высокий и полный актер появился в составе трио с Георгием Вициным и Юрием Никулиным в картинах «Самогонщики», «Пес Барбос и необычный кросс», «Кавказская пленница», «Операция „Ы“ и другие приключения Шурика».
Но сниматься Моргунов начал еще до работы с Гайдаем. Выглядел он иначе, поэтому те роли уже и не связывают с Бывалым. Стройный и привлекательный молодой человек сыграл в 1948 году Евгения Стаховича в фильме «Молодая гвардия». Он появился еще в нескольких патриотических лентах, но персонажи были настолько эпизодическими, что его не всегда даже указывали в титрах.
В возрасте 25 лет у Моргунова был диагностирован сахарный диабет. Он заметно набрал вес и от героев военных драм перешел к своему искрометному юмористическому персонажу. Правда, ненадолго. Уже в 1967 году между вспыльчивым актером и Гайдаем произошел серьезный конфликт, после которого режиссер не захотел иметь дело с Евгением.
Моргунов появлялся в новых фильмах у других постановщиков, но получал очень незначительные роли. К концу жизни у него обострились последствия заболевания: он мог лишиться ног из-за тромбоза вен, перенес два инфаркта. В 1999 году его жизнь унес инсульт.
